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Comment faire pour trouver l'angle entre deux vecteurs

Publié:2013-12-20Source: général
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Deux parties: Trouver l'angle entre deux VectorsDefining Formule Angle

Les mathématiciens et les programmeurs graphiques ont souvent besoin de trouver l'angle entre deux vecteurs donnés. Heureusement, la formule pour calculer ce ne nécessite rien de plus avancé que d'un produit scalaire. Alors que le raisonnement derrière cela est plus facile à comprendre en deux dimensions, la formule peut être étendu à des vecteurs avec un certain nombre de composants.

Étapes

Partie 1 de 2: Trouver l'angle entre deux vecteurs

1

Identifier les vecteurs. Notez toutes les informations que vous avez concernant les deux vecteurs. Nous allons supposer que vous avez seulement la définition du vecteur en termes de ses coordonnées tridimensionnelles (également appelés composants). Si vous connaissez déjà la longueur d'un vecteur (sa magnitude), vous serez en mesure de sauter certaines des étapes ci-dessous.

Exemple: Le vecteur à deux dimensions u⃗ = (2,2). Vecteur v⃗ = (0,3). Ceux-ci peuvent aussi être écrites comme u⃗ = 2 i + 2 j et v⃗ = 0 i + 3 j = 3 j.

Bien que notre exemple utilise vecteurs bidimensionnels, les instructions ci-dessous vecteurs de couverture avec un certain nombre de composants.

2

Notez la formule du cosinus. Pour trouver l'angle θ entre deux vecteurs, commencer avec la formule pour trouver le cosinus de cet angle. Vous pouvez en apprendre davantage sur cette formule ci-dessous, ou tout simplement écrire:

cos = (u⃗ · v⃗) / (|| u⃗ || || v ⃗ ||)

|| || u⃗ signifie "la longueur du vecteur u⃗."

· u⃗ v⃗ est le produit scalaire (produit scalaire) des deux vecteurs, expliquée ci-dessous.

3

Calculer la longueur de chaque vecteur. Imaginez un triangle rectangle dessiné depuis x-composante du vecteur, sa composante y, et le vecteur lui-même. Le vecteur forme l'hypoténuse du triangle, afin de trouver sa longueur, nous utilisons le théorème de Pythagore. Comme il se trouve, cette formule est facilement étendu à des vecteurs avec un certain nombre de composants.

|| || u = u u + 1 2. Si un vecteur a plus de deux composants, il suffit de continuer ajoutant u + 3 + 4 + u ...

Par conséquent, pour un vecteur à deux dimensions, || u || = √ (1 + u u 2).

Dans notre exemple, u⃗ || || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. || v⃗ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

4

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Vous avez probablement déjà appris cette méthode de multiplication des vecteurs, aussi appelé le produit scalaire. Pour calculer le produit scalaire en termes de composants des vecteurs, multiplier les composants dans chaque direction ensemble, puis ajouter tous les résultats.

Pour les programmes d'infographie, voir Conseils avant de continuer.

En termes mathématiques, u⃗ v⃗ · u = v 1 1 + u 2 V 2, où u = (u 1, u 2). Si votre vecteur a plus de deux composants, il suffit de continuer à ajouter + u 3 v + 3 u 4 v 4 ...

Dans notre exemple, u⃗ v⃗ · u = v 1 1 + u 2 V 2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Ceci est le produit scalaire du vecteur u⃗ et v⃗.

5

Branchez vos résultats dans la formule. Rappelez-vous, cos = (u⃗ · v⃗) / (|| u⃗ || || v ⃗ ||). Maintenant, vous savez à la fois le produit scalaire et les longueurs de chaque vecteur. Entrez ci dans cette formule pour calculer le cosinus de l'angle.

Dans notre exemple, cos = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6

Trouver l'angle sur la base du cosinus. Vous pouvez utiliser les arccos ou cos fonction sur votre calculatrice pour trouver l'angle θ d'une valeur de cos connu. Pour certains résultats, vous pourriez être en mesure de travailler sur l'angle sur la base du cercle unité.

Dans notre exemple, cos = √2 / 2. Entrez "arccos (√2 ​​/ 2)" dans votre calculatrice pour obtenir l'angle. Alternativement, trouver l'angle θ sur le cercle unité où cos = √2 / 2. Cela est vrai pour θ = / 4 ou 45º.

Mettre le tout ensemble, la formule finale est: angle θ = arc cosinus ((u⃗ · v⃗) / (|| u⃗ || || v ⃗ ||))

Partie 2 de 2: Définition de la Formule Angle

1

Comprendre le but de cette formule. Cette formule a été ne proviennent pas de règles existantes. Au lieu de cela, il a été créé comme une définition du produit scalaire de deux vecteurs et l'angle entre eux. Toutefois, cette décision n'a pas été arbitraire. Avec un regard en arrière à la géométrie de base, nous pouvons voir pourquoi résultats cette formule dans les définitions intuitives et utiles.

Les exemples ci-dessous utilisent des vecteurs à deux dimensions parce que ce sont le plus intuitif à utiliser. Vecteurs avec trois ou plusieurs composants ont des propriétés définies avec la formule générale de cas très similaire.

2

Revoir la loi des cosinus. Prenez un triangle ordinaire, avec un angle θ entre les côtés a et b, et c côté opposé. La loi des cosinus affirme que c = A + B cos -2ab (thetav). Elle est dérivée assez facilement de la géométrie de base.

3

Connectez deux vecteurs pour former un triangle. Dessinez une paire de vecteurs 2D sur papier, vecteurs a⃗ et b⃗, avec un angle θ entre eux. Dessinez un troisième vecteur entre eux pour former un triangle. En d'autres termes, tirer vecteur c⃗ tels que b⃗ + c⃗ = a⃗. Ce vecteur c⃗ = a⃗ - b⃗.

4

Ecrire la loi des cosinus pour ce triangle Insérez la longueur de nos côtés "vecteur de triangle" dans la loi des cosinus.:

|| (a - b) || = || A || + || b || - 2 || un || || b || cos (θ)

5

Ecrire ce en utilisant des produits de points. Rappelez-vous, un produit scalaire est le grossissement d'un vecteur projeté sur un autre. Le produit scalaire du vecteur A avec lui-même ne nécessite aucune projection, comme il n'y a pas de différence de direction. Cela signifie que a⃗ · a⃗ = || a ||. Utilisez ce fait de réécrire l'équation:

(a⃗ - b⃗) · (a⃗ - b⃗) = a⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ - 2 || un || || b || cos (θ)

6

Réécrire dans la formule familière. Développer le côté gauche de la formule, puis simplifier pour atteindre la formule utilisée pour trouver des angles.

a⃗ · a⃗ - a⃗ · b⃗ - b⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ = a⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ - 2 || un || || b || cos (θ)

- A⃗ · b⃗ - b⃗ · a⃗ = -2 || un || || b || cos (θ)

-2 (A⃗ · b⃗) = -2 || un || || b || cos (θ)

a⃗ · b⃗ = || a || || b || cos (θ)

Merci pour ton aide! S'il vous plaît nous dire ce que vous savez à propos de

...

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Conseils

Pour une prise rapide et résoudre, utiliser cette formule pour toute paire de vecteurs bidimensionnels: cos = (u 1 · v 1 + u 2 · V 2) / (√ (u 1 · u 2) · √ (v 1 · v 2)).

Si vous travaillez sur un programme d'infographie, vous avez probablement souciez seulement la direction des vecteurs, pas leur longueur. Prendre ces mesures pour simplifier les équations et accélérer votre programme:

Normaliser chaque vecteur de sorte que la longueur devient 1. Pour ce faire, diviser chaque composante du vecteur par la longueur du vecteur.

Prendre le produit scalaire des vecteurs normalisés à la place des vecteurs d'origine.

Depuis la longueur égale 1, laissez les termes de longueur de votre équation. Votre équation finale pour l'angle est arccos (u⃗ · v⃗).

Basé sur la formule du cosinus, nous pouvons rapidement trouver si l'angle est aigu ou obtus. Commencez avec cos = (u⃗ · v⃗) / (|| u⃗ || || v ⃗ ||):

Le côté gauche et le côté droit de l'équation doivent avoir le même signe (positif ou négatif).

Depuis les longueurs sont toujours positifs, cos doit avoir le même signe que le produit scalaire.

Par conséquent, si le produit scalaire est positif, cos est positif. Nous sommes dans le premier quadrant du cercle unité, avec θ <π / 2 ou 90º. L'angle est aigu.

Si le produit scalaire est négatif, cos est négatif. Nous sommes dans la deuxième quadrant du cercle unité, avec π / 2 <θ ≤ π ou 90º <θ ≤ 180 °. L'angle est obtus.

[Rédacteur: Admin]
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